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旧 2005-04-14, 09:37 AM   #1
No929
爱玩男儿
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台球运动中的力学问题

台球运动中的力学问题---TOP147网友爱球人关于台球力学的认识

  台球运动在国外已有200多年的历史,清代末期传到中国,到现在这种运动已经在我国城乡广为普及。我本人就是一个台球迷,自从六岁接触台球以来,对他的兴趣始终是有增无减。随着年龄,技术的增长,逐渐发现在台球运动中涉及到很多物理方面的知识。下面就把我个人的一点心得写下来作为一个物理小论文。

  对于两个球的碰撞问题,在这里我只定量讨论理想状态下的两球碰撞问题。平面上两相同的球做非对心完全弹性碰撞,其中一球开始时处于静止状态,另一球速度为v.当它们两个做非弹性碰撞时,碰撞后两球速度总互相垂直母球的质量 = 子球的质量,将两球视为刚体。忽略如下图所示:

http://www.top147.com/teach/images/aqr/1.jpg

设碰撞后两球的速度为v1,v2.   质心运动速度不变
有动量守恒mv=mv1+mv2      v=v1+v2
两边平方
由机械能守恒(势能无变化)
                质心运动速度不变

      v 1=0或 v2=0eà"v1=0 对心碰撞
v1*v2=0 {
      v1┷v2       非对心碰撞两球速度总互相垂直。

对于完全弹性碰撞则很容易判断两球的运动轨迹,0度或者180度。

  球速的传送公式,是指母球在撞击子球时,两球接触的瞬间,母球的动量会一分为二,一部分将分配给变慢的母球,另一部分会传送给子球。我们可以观察到的:两球速度的改变,此速度与滚动的距离成正比。球速传送公式是推导出来的。我认为,球的力量传递必定存在着公式的关系,若此公式为一简单的数学关系,对于出杆力道控制的知识推断,必定会有很大的帮助。以下所推导的公式为平面碰撞,只单纯计算母球的动量传递。不考虑声波消耗的能量、球台布摩擦力消耗的能量与球旋转的转矩等....。移动中的母球撞击静止的子球(动量为零),撞击前母球的动量P,在撞击子球后,会将一部分动量传给子球P2,而母球保有部分动量P1。按照力与向量的计算,合力 = 两分力,P = P1 + P2,且两分力垂直。按照动量的公式 P = mv条件:母球的质量 = 子球的质量,将两球视为刚体。公式如下:(求V1、V2)

http://www.top147.com/teach/images/aqr/2.jpg


V1 = V * Sinθ
V2 = V * Cosθ

以上公式难以阅读,我用文字说明。

  公式一:母球末速等于母球初速乘以Sinθ公式二:子球速度等于母球初速乘以Cosθ说明: 只要将Sinθ及Cosθ制成表,即可用查表法,算出母球子球的速度分配,此速度分配随θ(夹角)改变。换言之,我们可以控制撞击的角度,使母球和子球在撞击后,得到预期的速度分配,进而控制母球和子球的滚动距离。另外,亦可将切球公式(切球公式:指击球厚薄与角度的关系。董增华,民国91.9。)与本公式结合,导出击球厚薄与速度分配的关系。

  切球的公式。瞄球是一个很复杂的动作,有的人用单眼瞄球,大部分的人用双眼瞄球。瞄准的方法也有很多种,有人瞄切点,有人瞄假想母球,有人打久了凭感觉,也有人瞄球是用切的,看是切整颗球(直径)的几分之几。这一篇是我导出的角度与几分之几的切球公式。曾经在网络上看到许多人讨论,切半颗球的夹角是几度?结果众说纷纭。当母球撞击到子球时,母球与子球的接触点很小,我们称它为「切点」。子球前进的方向,在不考虑抛(throw)力的情况下,子球被撞击后的前进方向为「母球中心点-切点-子球中心点→」的方向,在打落袋式撞球时,此方向就是子球进袋的方向,这就是一般将球打进的原理。母球子球接触的瞬间如下图所示,切球的厚薄为X,球的半径为r,瞄准方向(母球未接触子球前的行进方向)与子球行进方向的夹角为θ。由计算与三角函数得之,X = 2r(1-Sinθ)。图解计算见下图。

http://www.top147.com/teach/images/aqr/3.jpg

  由此导出的公式发现,「切球的宽度」与「瞄准方向与子球行径方向的夹角」有固定数学式的关系,表一将三角函数表的Sinθ列出,第二列列出1-Sinθ。将等式X = 2r(1-Sinθ)改一下,

http://www.top147.com/teach/images/aqr/4.jpg

  因为2r是直径,1-Sinθ就等于「切球的宽度」除以球直径,也就是切球的比例。以上数学式看不懂没关系,结果说明如后,我们可以从表一中1-Sinθ的字段看出,打直球时(0°)切球的宽度为整颗球,接近90°的球,切球的宽度接近最小,打30°的球时,切球的宽度为0.5000刚好是切半颗球。由此表可以得到角度与切球比例的关系。

http://www.top147.com/teach/images/aqr/5.jpg

  注意切1整颗球到切0.9颗球的范围,大约在0°~6°之间;切0.1颗球到切0颗球(最薄的球)的范围,大约在64°~90°之间。可见切愈薄的球,差一点就差很多了,也就是愈薄的球愈难打,如果是要打下左右塞的球,又超过60°,因为下左右塞球要修正,将很难打进。所以我们应该尽量将作球的角度控制在60°以内。

  球台上的力学分析。如果有机会得到电玩超拟真撞球的公式(指内部程序),我想我不会写这个,公布他的就好了。如果超拟真的程序员有看到这篇文章,有良心的话,就把你的大作公布给大众吧!或者有人知道真相?走火入魔的时后,会有一些机车的想法,最麻烦的是自己想不通的问题。这个问题就是走火入魔的时后,才会去想的。先入主题吧!我把球桌面的问题,土法炼钢的用我所知道的物理观念公式化,就好像打 RPG-GAME 时,为什么打史莱姆一*,失血 15 Points ,因为 Game 中有公式(快把超拟真撞球的公式交出来吧!)。

http://www.top147.com/teach/images/aqr/6.jpg
http://www.top147.com/teach/images/aqr/7.jpg

球台上的力学分析:

1. 手与球杆的关系 
 a. 主要为小臂与手腕施力于球杆。 
 b. 肘为支点。 
 c. 力矩T = 力F(球杆的重量)* 力臂r(肘至球杆的垂直距离)  
   T = F * r

2. 球杆与球的关系 
 a. 前截对母球的偏斜。(下左塞、同一打点、施以不同力道的偏斜与转向图)
 b. 母球冲击的反作用力使前截发生形变(反作用力的自动修正)。 
 c. 球杆给球的直线冲量。
   球杆、母球分离时的直线冲量 P  
   球杆、母球分离时的母球球速 V  
   母球的质量 m  
   公式:P = m * V 
 d. 球杆给球的转动角冲量。  
 (塞球的理想撞击点是存在的。杆头并非固定不动。)  
  T *(t)= ΔL = 球杆拨动母球的时间 t * 球杆送给母球的转矩 T 
 e. 皮头的摩擦系数 tμ。  摩擦力 tμ 与角冲量 T(t) 成正比。  
  T = F * tμ, T(t) = F * t * tμ( F:施力)  
  L = I * ω(角动量 = 转动惯量 * 角速度)  
  T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * tμ( 角冲量 = 角动量变化量)

3. 球与台面的关系 

 a. 重力(g)。  球的质量(m)* 重力加速度(g)
 b. 摩擦力。摩擦力所作的功与摩擦系数成正比。  摩擦力所作的功 = 摩擦力 * 移动的距离 (通常是在自然向前滚动的情况下成立)  c. 球向台面的垂直加速度 = 反作用力 (跳球时,跳跃高度 H = 1/2 g * t * t )( t 为飞行时间 ) 
   出杆速度愈快、力量愈大、垂直角度愈高,跳球跳愈高。

4. 球与球的关系
 a. 平面弹性碰撞。  
   母球原行进方向A  
   母球、子球撞击瞬间之母球球心位置O  
   子球受撞击后之走向B  
   母球碰撞子球后之走向C  
   母球撞击子球前之力F  
   子球接收母球之力OF  
   母球撞击子球后剩余之力CF  
   ∠AOB = θ  
   公式:OF = F * cosθ     
  CF = F * sinθ  (当夹角θ为0度时《直球》,母球的力完全传递给子球;当夹角θ为90度时,母球等于没碰到子球。)
 b. 球与球之间的 throw (抛)。  
   红色的↗c 为目标球接收到的 throw 。  
  此 throw 受 oμ 的影响,愈脏的球 oμ 愈大。 
 c. 转矩的传递(子球塞球)。  
  母球角动量L  
  母球与子球接触时间 t
  母球与子球的摩擦系数 oμ
  子球受到的角冲量(转矩)T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * oμ
  ∵ t 太小了,球速相对又太快。
  ∴ 子球的旋转肉眼看不出来。
  球速愈快、转速愈快、撞击夹角愈小,传递的转矩愈大,阈值受限于 t * oμ。
  子球接收的角冲量在碰触颗星时会有明显的影响。

5. 球与颗星的关系
 a. 入射角A = 反射角B。
http://www.top147.com/teach/images/aqr/8.jpg
 b. 颗星的摩擦力。
  球与颗星的摩擦系数 cμ
  旋转的转矩 T(t) = ΔL = Iω2 - Iω1 = F * t * cμ(球入颗星的角度愈接近垂直,摩擦力愈大)
 c. 陷入颗星时的弹力位能。(虎克定律)
  弹力位能F
  常数K(颗星的弹性)
  陷入颗星的深度X
  F = KX
 d. 球陷入颗星条(Cushion)内力量的损耗。

6. 球与空气的关系
 a. 麦克纳斯力(Magnus force)对水平前进旋转球的侧偏斜。(流体力学对左塞或右塞的影响,可能微乎其微。)
http://www.top147.com/teach/images/aqr/9.jpg
http://www.top147.com/teach/images/aqr/10.jpg
http://www.top147.com/teach/images/aqr/11.jpg

后语:一个球的行为几乎会动用到好几种力学,只是影响力大小不同,有时几乎可以忽略,有时却很重要。我们平常看到的是这些力彼此交互作用的结果。写完觉得还不够,希望下次有力时可以补充。特别感谢看完的人。如有误,欢迎指正。
 
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